E5 Epsteindiagramme für Energie und Impuls
Wieso soll ich es mir nicht einmal leicht machen? Nehmen Sie das Epsteindiagramm zu Masse und Impuls von E2 und multiplizieren Sie darin alle auftretenden Strecken mit c2 ! Wir brauchen nur noch genau hinzusehen und stellen fest, dass wir ein Epsteindiagramm zu den Grössen Energie und Impuls vor uns haben: Die Ruhemasse mo wird zu mo·c2, also zur Ruheenergie Eo, die dynamische Masse mv wird zu mv·c2, also zur Gesamtenergie
Etot , und statt p/c haben wir auf der horizontalen Achse eben p·c :
Dabei behalten φ, sin(φ) und cos(φ) natürlich ihre bisherige Bedeutung. Die entsprechenden Beziehungen können aber in ihrem neuen Zusammenhang geprüft werden:
Etot · sin(φ) = mv·c2 · v/c = mv·c·v = mv·v·c = p·c
Etot · cos(φ) = mv·c2 · √ = (mv·√ )·c2 = mo·c2 = Eo
Mühelos erhalten wir auch die wichtige Beziehung zwischen den Energien und dem Impuls. Wir brauchen nur den Satz des Pythagoras anzuwenden:
( Etot )2 = ( Eo )2 + ( p·c )2 ( 2 )
Auch die kinetische Energie kann leicht sichtbar gemacht werden: Man schlägt einen Kreis um den Ursprung mit Radius Eo und sieht dann Ekin als Differenz von Etot – Eo .
Wir sollten an dieser Stelle nochmals darauf hinweisen, dass kein Teilchen mit nicht verschwindender Ruhemasse jemals die Lichtgeschwindigkeit ganz erreichen kann. Man müsste ja für seine Beschleunigung unendlich viel Energie aufwenden! Lassen Sie den Winkel φ im obigen Diagramm vor dem geistigen Auge immer mehr gegen 90º wachsen und beobachten Sie dabei, wie die Gesamtenergie des Teilchens anwächst!
Umgekehrt können wir auch folgern, dass Photonen keine Ruhemasse haben dürfen, da sie ja immer und für alle die Geschwindigkeit c haben. Aus Eo = 0 folgt für sie aus (2) die spezielle Beziehung Etot = p·c. Diese Lichtteilchen führen also nicht nur Energie, sondern auch einen wohldefinierten Impuls p = E / c mit sich. Dieser Impuls der Lichtteilchen erzeugt einen bestimmten Druck auf eine bestrahlte Fläche. Dazu gibt es eine besonders schöne Illustration: Den Astronomen ist schon lange bekannt, dass das Sonnenlicht einen Strahlungsdruck auf den Schweif eines Kometen ausübt. Der Kometenschweif zeigt nämlich immer von der Sonne weg. Wenn sich der Komet wieder von der Sonne entfernt, zieht er also seinen Schweif nicht hinterher, sondern dieser fliegt ihm voraus! Der Staubschweif, der aus schwereren Teilchen besteht, zeigt sich dabei etwas träger als der Gas- oder Ionenschweif, der hauptsächlich aus Wassermolekülen besteht. Das folgende Bild zeigt die beiden Komponenten des Schweifes wunderschön. Es handelt sich dabei um den Kometen Hale-Bopp, aufgenommen im März 1997.
Man darf nun nicht meinen, dass die Gesamtenergie eines Objektes immer grösser wird, wenn es schneller wird. Wesentlich ist, ob ihm Energie zugeführt wird oder nicht. So nimmt bei einer Strassenbahn, die ihre Energie aus der Fahrleitung bezieht, die Gesamtenergie und die Masse mit der Geschwindigkeit tatsächlich zu wie im obenstehenden Epsteindiagramm. Anders sieht es aber aus bei einem Elektromobil, also einem batteriebetriebenen Elektrofahrzeug. Es bezieht die Energie für die Beschleunigung ‘von seiner Substanz’, wandelt also nur elektro-chemische Energie in kinetische um. Dabei nimmt weder seine Gesamtenergie noch seine Masse zu. Zeichnen Sie das entsprechende Epsteindiagramm!
Die Algebra liefert allerhand weitere Beziehungen zwischen den Energien, dem Impuls und der Relativgeschwindigkeit. Die wichtigsten davon wollen wir hier festhalten:
cos(φ) = √ = mo / mv = mo·c2 / mv·c2 = Eo / Etot
sin(φ) = v/c = √( 1 - mo2 / mv2 ) = √( 1 - Eo2 / Etot2 ) = √( 1 - 1 / ( 1 + Ekin2 / Etot2 ) )
mo2 = mv2 – p2 / c2
Eo2 = Etot2 – p2 ·c2
p2 = ( mv2 - mo2 )·c2
Wegen ihrer grossen Bedeutung ist die Beziehung ∆E = ∆m · c2 immer wieder auf neuen Wegen hergeleitet worden. Die wohl schönste und einfachste Herleitung hat Einstein selber 1946 (!) in seinem sehr lesenswerten Buch “Aus meinen späten Jahren” [20-121ff] präsentiert. Sie ist nicht ganz exakt (verwendet also einige Näherungen), braucht aber fast keine Mathematik und macht ganz sparsame Voraussetzungen. Die Lektüre sei dem Leser warm empfohlen.