D3    Herleitung der Lorentz-Transformationen aus den Grundphänomenen


Es seien also wieder zwei Koordinatensysteme gegeben, wie sie zu Beginn von D1 genau beschrieben worden sind. Ein Ereignis  E  habe für Rot zum Zeitpunkt  t’  am Ort  (x’,y’,z’) stattgefunden. Wir wissen schon, dass es für Schwarz am Ort  (x,y,z)  stattfindet mit  y = y’  und  z = z’. Es sind noch die Werte von  t  und  x  zu bestimmen, welche für Schwarz zu diesem Ereignis gehören.

Für Schwarz läuft die ‘Mutteruhr’ von Rot am Ort B (wie jede Uhr von Rot) zu langsam, es gilt

t = t(A) = t’(B)/√    oder   t·√ = t’(B)

Eine Uhr am Ort  x’  von Rot weist für Schwarz zudem eine Desynchronisation zur Uhr in B auf von

∆t’ = -x’·v/c2

Die rote Uhr in B wird also schon  t’(B) = t’(x’) - ∆t’ = t’ + x’·v/c2 anzeigen, wenn E stattfindet.
Somit erhalten wir für den entsprechenden Uhrenstand von A den Ausdruck

t(A)·√ = t’(B) = t’ + x’·v/c2

Für  t = t(A)  selber ergibt sich daraus     t = ( t’ + x’·v/c2 ) / √

Genau diesen Ausdruck haben wir auch in D2 für  t  hergeleitet!


Nun gilt es noch zu klären, bei welcher x-Koordinate das Ereignis  E  für Schwarz stattfindet. Rot meint, dass die Distanz d’ von A zum Ort  x’  der x’-Koordinate von  E  den folgenden Wert habe:

d’ =  x’(E) - x’(A)  =  x’ + v·t’(B)  =  x’ + v·t’(x’)  =  x’ + v·t’

Dabei haben wir benutzt, dass für Rot die Uhren in B und in x’ synchronisiert sind. Für Rot hat also das Ereignis E entlang der x’-Achse, also auch entlang der x-Achse, den Abstand d’ von A.
Schwarz weiss, dass Rot alle Längen in x-Richtung verkürzt sieht. Der Abstand des Ereignisses von A muss demnach für Schwarz  
d = d’ / √  betragen, und wir sind fertig:
x = d = d’ / √ = ( x’ + v·t’ ) / √

Genau diesen Ausdruck haben wir auch in D2 für  x  hergeleitet.



Interessant ist, dass in den meisten Lehrbüchern zur SRT für Mittelschulen diese Lorentz-Transformationen nicht hergeleitet werden. Oft werden sie vorausgesetzt oder ‘mitgeteilt’ und dann werden die Zeitdilatation und die Längenkontraktion daraus abgeleitet. Der umgekehrte Weg von den Grundphänomenen zu diesen doch schon abstrakteren Transformationen kann eben nur beschritten werden, wenn auch die Desynchronisation quantitativ behandelt worden ist.

Der Grund für die Einführung dieser Lorentz-Transformationen ist aber bei allen Autoren derselbe: Sie liefern eine einfache Herleitung der korrekten Formel für die Addition von Geschwindigkeiten. Dabei hat man es ja grundsätzlich mit drei Inertialsystemen zu tun: B bewegt sich mit v relativ zu A, und C bewegt sich mit w’ relativ zu B. Welche Geschwindigkeit hat dann C für A ? Der Winkel φ zwischen den Zeitachsen kann ja sowohl für A und B als auch für B und C zB. 60º betragen. Fügt man nun die beiden entsprechenden Epstein-Diagramme naiv zu einem einzigen mit 3 Zeitachsen zusammen, so ist der Winkel zwischen den Zeitachsen von A und C bereits 120º ! Auch mir als Epstein-Evangelist blieb es bis vor kurzem nicht erspart, die Formel für die Addition von Geschwindigkeiten in der SRT über die Lorentz-Transformationen abzuleiten.

Alfred Hepp hat mich nun darauf aufmerksam gemacht, dass Epstein in der zweiten Auflage von [10] im Anhang A zeigt, wie man den korrekten Abkippwinkel für die Geschwindigkeit  w  aus denjenigen für  v  und  w’  mit Zirkel und Lineal konstruieren kann. Dank der Skizze in jenem Abschnitt (die zuerst auch verstanden sein will !) konnten wir schliesslich einen recht einfachen Beweis für die Additionsformel (rote Kiste auf der nächsten Seite) finden, der sich nur noch auf die Epsteindiagramme abstützt, bei dem man also auf die Lorentz-Transformationen vollständig verzichten kann. Ich lege diesen Beweis im Anhang K7 bei.