T30   Druck, mittlere Translationsenergie und innere Energie

 
In diesem Abschnitt gehen wir davon aus, dass es sich um ein 'nicht-relativistisches' Gas handelt, dass wir also für die kinetische Energie der einzelnen Teilchen ( bezogen auf den Schwerpunkt des Gases ! ) die klassische Formel verwenden dürfen. Diese Einschränkung ist ist gar nicht so gewichtig: Bei einer Temperatur von 100 Mio K liegt die mittlere Geschwindigkeit von Helium-Atomen bei gerade mal 2.5 Promillen der Lichtgeschwindigkeit ! Dabei weicht die klassische Formel für die kinetische Energie auch für Gechwindigkeiten von 0.1 · c  noch kaum von der relativistischen ab ( siehe Graphik am Ende von E4 ).

Einfache statistische Überlegungen ergeben, dass der Druck, den ein ideales Gas auf eine Gefässwand ausübt, proportional ist zur mittleren Teilchendichte. Er lässt sich ( wie schon im Abschnitt 5 ) nach der folgenden Formel berechnen:

Die Geschwindigkeit u jder Gasteilchen müssen wir dabei immer auf den Schwerpunkt der ganzen Gasmenge oder, gleichbedeutend, auf den Nullpunkt des Eigensystems der Gasmenge beziehen. Wenn wir wieder (wie im Abschnitt 5) die y-Richtung der Relativbewegung betrachten, wissen wir genau, wie sich die einzelnen Komponenten dieser Formel verhalten.

Mit  P' j= P , N' j= N , V' j= V · √  und  m' j= m / √  folgt aus der obenstehenden Formel

Für Teilchengeschwindigkeiten u joder u' , die klein sind gegenüber der Lichtgeschwindigkeit, dürfen wir die klassische Formel für die kinetische Energie verwenden. Dann gilt

Diese Gleichung gilt mutatis mutandis auch für einen schnellen Beobachter, da sich die mittlere kinetische Energie gleich transformiert wie die Quergeschwindigkeit u :

Die mittlere kinetische Energie der Teilchen (bezogen auf den Schwerpunkt des Gases!) und V jtransformieren sich also beide durch Multiplikation mit dem Wurzelterm. Der Wert der rechten Seite in der vorletzten Formelzeile bleibt damit unverändert, genauso wie der Wert des Drucks auf der linken Seite. Multiplizieren wir beide Seiten mit V , so erhalten wir die für ein nicht-relativistisches Gas form-invariante Gleichung

und daraus

Beide Seiten transformieren sich durch Multiplikation mit dem Wurzelterm. Nimmt die kinetische Energie der Teilchen (immer bezogen auf den Massenschwerpunkt des Gases) aber ab für einen 'schnellen Beobachter', dann ist für ihn eben auch der Wärmeinhalt des Gases kleiner !
Für ein ideales Gas gilt

und daher

U'  =  U · √

U , P · V  und  H  transformieren sich wie  k ·T  und wie die mittlere kinetische Energie der Teilchen, also durch Multiplikation mit der Wurzel.