6. Einige weitere Anwendungen der Matrizen F und M


6.1 Die Determinanten von F und M

Berechnet man die Determinanten von F und M (oder lässt man sie vom TI-89 berechnen), so zeigt sich folgendes:
det ( F ) = –c2 ·(E·B)2 = det ( M ) und det ( F' ) = –c2 ·(E'·B')2 = det ( M' )
Wegen F' = L · F · L-1 gilt sowieso det ( F' ) = det ( F ) , ganz entsprechend gilt auch det ( M' ) = det ( M )
Es sind also alle 4 Determinanten gleich gross, und es muss gelten (E·B)2 = (E'·B')2
Stehen E und B in irgendeinem Koordinatensystem senkrecht aufeinander, so tun sie dies offenbar in allen anderen Koordinatensystemen auch. E·B steht hier übrigens für das 3d-Skalarprodukt des elektrischen und des magnetischen Feldvektors, der Punkt zwischen den beiden 3-Vektoren bedeutet also ausnahmsweise nicht das Produkt zweier Matrizen.

6.2 Das Produkt der Matrizen F und M

Nun ist ja nicht nur (E·B)2 eine relativistische Invariante, sondern sogar E·B selber (vgl. [1-225]). Dieses Ergebnis erhalten wir direkt, wenn wir das Produkt der Matrizen F und M betrachten:

Es ist F · M = M · F = c · (E·B) · Id , wenn wir mit Id die 4x4-Einheitsmatrix bezeichnen !!
Es ist also 4· c · (E·B) = Spur ( F · M ) = Spur ( L·F·L-1· L·M·L-1 ) = Spur ( F' · M' ) = 4· c · (E'·B')  und somit  E·B = E'·B'

6.3 Noch eine Invariante aus der Differenz F – M

Berechnet man det ( F – M ) und det ( F + M ), so erhält man
det ( F – M ) = det ( F + M ) = – ( E2 – c2 · B2 )2 = det ( M – F ) = det ( M + F ) und entsprechend
det ( F' – M' ) = det ( F' + M' ) = – ( E'2 – c2 · B'2 )2 = det ( M' – F' ) = det ( M' + F')
Die Matrizenrechnung lehrt uns aber, dass gilt
det ( F – M ) = det ( L · ( F – M ) · L-1 ) = det ( ( L · F – L · M ) · L-1 ) = det ( ( L · F · L-1 ) – ( L · M · L-1 ) ) = det ( F' – M')
Also ist der Ausdruck ( E2 – c2 · B2 )2 = a2 ebenfalls eine Invariante der SRT. Tatsächlich ist aber schon E2 – c2 · B2 selber invariant ! Wenn der Betrag dieses Terms invariant sein muss, kann er sein Vorzeichen nicht sprungartig von a nach –a wechseln, da E' und B' stetig von der Relativgeschwindigkeit v abhängen. Einen Beweis in Komponentenschreibweise findet man z.B. bei Freund [1-225f].

6.4 Ein eleganter Beweis für M' = L · M · L-1

F · M = M · F = c · (E·B) · Id zeigt auch, dass M fast die Inverse zu F ist ! Genauer gilt
M = c · (E·B) · F-1 und daher genauso auch M' = c · (E'·B') · (F')-1 = c · (E·B) · (F')-1
Also gilt L · M · L-1 = L · [ c · (E·B) · F-1 ] · L-1 = c · (E·B) · L · F-1 · L-1 = c · (E·B) · (F')-1 = M'
und wir haben unsere Behauptung im Abschnitt 3 bewiesen !

6.5 Die Matrizen G·F , G·M , F·G und M·G

Die Matrizen G·F, G·M, F·G und M·G sind antisymmetrisch. Das Pendant zum elektromagnetischen Feldtensor ist also nicht F , sondern G·F . Auch in der Tensorrechnung wird gelegentlich ein zweiter Tensor (Mkl oder *Fkl) eingeführt, welcher der Matrix G·M entspricht und der es gestattet, die zweiten 4 der 8 Gleichungen von Maxwell ebenso flott zu schreiben, wie man die ersten 4 mit Hilfe von (Fkl) ausdrücken kann. Damit sind dann alle 8 Gleichungen ausgedrückt durch

Die meisten Bücher, die sich nicht an fortgeschrittenere Semester an der Hochschule richten, wagen sich nicht an einen Beweis der Forminvarianz der Maxwellgleichungen: So etwa [2], [4], [5], [6] und [7] . Einige von Ihnen beschränken sich zum vorneherein auf die Mechanik. Bei den Büchern [4] bis [7] handelt es sich übrigens um diejenigen, die ich in den letzten drei Monaten gelesen habe und die ich durchaus empfehlen kann. Vor allem habe ich dank Shadowitz [3] und Sartori [4] die Loedel-Diagramme und auch diejenigen von Brehme kennengelernt. Diese scheinen in Europa noch gänzlich unbekannt zu sein. Sie können diese Diagramm-Typen jetzt ganz einfach kennenlernen: Laden Sie diejenigen meiner Programme herunter, welche zu Ihrem Computer passen !