4. Die Transformationen unserer Vierervektoren und Matrizen

Wir müssen jetzt noch wissen, wie sich unsere Vierervektoren, Linearformen und Matrizen transformieren, wenn wir von einem Koordinatensystem S zu einem zweiten, S' , wechseln. Dabei sollen S und S' die übliche spezielle Ausrichtung zueinander haben, sodass die speziellen Lorentz-Transformationen L und L-1 den Übergang beschreiben können.

Zuerst ist klar, dass sich gewöhnliche Vierervektoren wie Vi oder Ji , als Spalten geschrieben, also als 4x1-Matrizen, nach der folgenden Regel transformieren:

(Vi) ' = L · Vi

Vierervektoren sind definiert dadurch, dass sie sich so transformieren!

Wie transformieren sich jetzt die zugehörigen 'dualen' Linearformen? Zu jedem Vierervektor Vi ist ja eine Linearform (eine Zeile der Länge 4, also eine 1x4-Matrix) definiert durch
Vi := ( v0 , –v1 , –v2 , –v3 ) , wo v0, v1, v2 resp. v3 die einzelnen Komponenten von Vi sind.
Beachten Sie die Position des Index i sowie die Vorzeichenänderungen in Vi gegenüber Vi !

Eine kleine Rechnung zeigt, dass sich diese Linearformen nach der folgenden Regel transformieren:

(Vi) ' = Vi · L-1

Diese Transformationsregel werden wir später noch als kleine Anwendung der Matrizenrechnung mithilfe der Matrix G beweisen. Wir nennen jede Linearform eine Viererform, wenn sie sich bei einem Lorentz-Boost gemäss obiger Regel transformiert.

Bei Freund [1-218f] ist klar beschrieben, dass sich die Matrix F gemäss F' = L · F · L-1 transformieren muss, wenn das Kraftgesetz
f = q ( E + v x B ) in seiner Vierer-Gestalt Ki = (q/c ) · F · Vi ebenfalls forminvariant sein soll unter Lorentz-Transformationen. Aus diesem Postulat leiten sich dann die speziellen Transformationen der einzelnen Komponenten von E und B ab:

 

Es fehlt noch die Transformationsregel für M . Sie lautet einfach M' = L · M · L-1 , wie man zum Beispiel durch fleissiges Ausmultiplizieren und dem Einsatz obiger Umformungen nachprüfen kann. Man kann heute diese Rechnung ja auch an ein Computer-Algebrasystem wie etwa Mathematica® delegieren, der Taschenrechner TI-89 kann das auch. Im Abschnitt 6.4 zeigen wir aber noch einen eleganteren Beweis für diese Behauptung.

F und M transformieren sich also genau gleich, was die Matrix M ja überhaupt erst brauchbar macht. Wenn wir jetzt noch wissen, wie sich unser Nabla-Operator transformiert, dann haben wir alles beisammen, was wir für das Kernstück dieses Plädoyers brauchen. Man kann durch direktes Nachrechnen leicht prüfen, dass unser Nabla-Operator eine Viererform ist, dass also die folgende Transformationsregel gilt:

 

 
Vergleichen Sie mit [1-232], insbesondere mit der Formel (36.5) ! Sie finden unser Resultat, wenn Sie dort von links mit G multiplizieren und dann die Ausdrücke auf beiden Seiten transponieren.

Damit sind wir gerüstet, um auf wenigen Zeilen zeigen zu können, dass die Maxwell-Gleichungen forminvariant sind unter Lorentz-Transformationen.