K9    SRT mit Vierervektoren


Raumgeometrische Probleme können mit ganz verschiedenen mathematischen Techniken behandelt werden. So kann man beispielsweise das Volumen eines Tetraeders elementargeometrisch berechnen, man kann die Vektorgeometrie dazu einsetzen oder auch die Integralrechnung. Gewisse Fragen lassen sich oft mit dem geeigneten Ansatz sehr elegant beantworten, während eine andere Behandlung aufwendig ist oder sogar nur näherungsweise gelingt.

Der beste algebraische Apparat für Berechnungen in der SRT ist derjenige mit Vierervektoren! Nicht nur Ort und Zeit eines Ereignisses, sondern auch alle anderen physikalischen Grössen werden konsequent durch Vektoren mit 4 Komponenten beschrieben: Es gibt die Vierergeschwindigkeit, die Viererbeschleunigung, die Viererkraft, den Viererimpuls und den Viererstrom. Alle diese Vierervektoren transformieren sich beim Übergang zu einem anderen Koordinatensystem genauso, wie wir es von den Orts- und Zeitkoordinaten kennen, also gemäss den Lorentz-Transformationen. Und für beliebige Vierervektoren A und B existiert ein einfaches Skalarprodukt, sodass A·B immer einen konstanten, vom Bezugssystem unabhängigen Wert annimmt!

Als Beispiele seien der Viererimpuls P und die Vierergeschwindigkeit V erwähnt: 

P = ( Etot/c, px, py, pz ) = mo/√ ·( c , vx, vy, vz ) = mo·V oder kürzer geschrieben
P = ( Etot/c, p ) = mo/√ ·(c, v) = mo·V

Dabei ist p der 3d-Impulsvektor, v die 3d-Raumgeschwindigkeit. Das Skalarprodukt zweier Vierervektoren
(x0, x1, x2, x3) und (y0, y1, y2, y3) wird definiert durch   x0·y0 – x1·y1 – x2·y2 – x3·y3 . Berechnen wir schnell, was P2 und V2 bedeuten:

P2 = (Etot/c)2p2 = (Etot2p2·c2)/c2 = Eo2 /c2 = mo2     nach unseren Gleichungen in E5 p.79 !

Dies ist offensichtlich eine invariante Grösse. Wenn Sie beim Epstein-Diagramm auf p.78 in E5 alle Seiten des rechtwinkligen Dreiecks durch c dividieren, stellt diese Rechnung nur eine Variante des Satzes von Pythagoras dar. Ich möchte behaupten, dass die Epstein-Diagramme dem Rechnen mit Vierervektoren besonders nahe stehen!

V2 bestimmen wir für den Fall, wo v = vx gilt, also für  vy = 0 = vz :

V2 = (1/√ )2·(c2 – vx2 – 0 – 0) = (c2 – v2)/(1 – v2/c2) = c2·(1 – v2/c2)/(1 – v2/c2) = c2

Auch dies ist offensichtlich eine invariante, das heisst ein vom Bezugssystem unabhängiger Wert. Und das Ergebnis passt doch wunderbar zu Epsteins ‘Mythos’! Als kleine Übung könnten Sie sich überlegen, was denn  P·V bedeutet.


Ziel dieses Buches war ja nicht die algebraische Behandlung von anspruchsvollen (und wichtigen) Beispielen wie etwa der Compton-Streuung. Es geht primär darum, eine sehr gute Anschauung von den Aussagen der SRT und ART zu vermitteln. Oder, wie Epstein in [10-100] schreibt: “Um die spezielle Relativitätstheorie auch im Bauch zu verstehen, brauchen wir einen guten, neuen Mythos.” Die Vermittlung des Epstein’schen Mythos war mein Hauptanliegen. Hat man sich diese Basis einmal verschafft, so fällt es leicht, sich in einem zweiten Durchgang auch noch gewisse technische Tools anzueignen. Mit diesen Tools können dann beliebig verzwickte Probleme angepackt werden. Und das Tool für speziell-relativistische Rechnungen sind die Vierervektoren.

Für ein erstes Studium dieser Vierervektoren sei [25] empfohlen. Arbeitet man dort die Kapitel 12 und 13 durch, so ist man schon tief in diese Welt eingedrungen. Auch die Darstellung in [41] ist für einen Maturanden oder eine Abiturientin durchaus zugänglich, der Titel “Spezielle Relativitätstheorie für Studienanfänger - ein Lehrbuch” beschreibt das Anspruchsniveau sehr genau.