H3     Eine quantitative Betrachtung


Wie tief fällt ein Apfel aus anfänglicher Ruhe in einer Sekunde ? Setzt man für g den gerundeten Wert 10 ein, so erhalten wir aus
∆h = 0.5·g·∆t2 eine Fallstrecke von 5 m. Eine Sekunde Zeit entspricht aber in einem massstäblichen Diagramm einer Länge von 300’000’000 m ! Gehört zu einer Sekunde im Diagram eine Streckenlänge von 3 cm, so gehört zu einer Strecke von 5 m im Diagramm eine Linie der Länge  0.5 Nanometer, das sind gerade mal einige Atomdurchmesser!

Rechnen wir aus, wie gross der Radius der Zeitachse respektive wie klein deren Krümmung ist, wenn das Raumzeit-Diagramm zur Stärke des Gravitationsfeldes an der Erdoberfläche passen soll:

 

Wir setzen alle Strecken im Raumzeit-Diagramm in Metern ein. Die Kathete OP im rechtwinkligen Dreieck ZOP hat dann in guter Näherung die Länge c·1s = 3·108 m (das Resultat wird zeigen, das diese Näherung sogar extrem gut ist ...). Der ‘Pythagoras’ liefert nun

ZP2 =  ZO2 +  OP2 ;    ( ZO + 5 )2 ≈  ZO2 +  ( 3·108 )2 ;    ZO2 + 2·ZO·5 + 52 ≈   ZO2 +   9·1016

10·ZO   ≈  9·1016 -  25     ;     ZO  ≈   9·1015 -  2.5        und somit        ZO  ≈   9·1015

Wenn die Krümmung der Zeitachse zur Stärke der Gravitation an der Erdoberfläche passen soll, dann muss der Radius ZO also  9·1015 m  betragen, was ziemlich genau einem Lichtjahr entspricht! Zum Vergleich: Der nächste Fixstern liegt etwa 4 Lichtjahre von uns entfernt, die grosse Halbachse der Plutobahn beträgt nur 5.9·1012 m . Der korrekte Kreisradius ist also immens, und entsprechend ist die korrekte Krümmung verschwindend klein. Wir haben es wirklich mit einem schwachen Gravitationsfeld zu tun, von blossem Auge könnten wir die Krümmung gar nicht erkennen.

Es ist aber diese winzige Krümmung der Raumzeit an der Erdoberfläche, welche frei bewegliche Objekte fallen lässt und welche das Treppensteigen so anstrengend macht!

Von Adam Trepczynski stammt eine Shockwave-Animation, die Ihnen gestattet, mit solchen Epstein-Raumzeit-Diagrammen mit und ohne Gravitation zu spielen.