G3    Unsere Beschränkung auf einen wichtigen Spezialfall


Das (starke) Äquivalenzprinzip war für Einstein Ansatzpunkt und Nagelprobe für jede mathematische Formulierung einer Theorie der Gravitation. Dennoch kam er bis 1911 kaum richtig voran. 1912 kehrte er von Prag nach Zürich zurück und muss dort zu seinem Freund und Studienkollegen Marcel Grossmann, der inzwischen eine Professur an der ETH innehatte, gesagt haben: “Grossmann, Du musst mir helfen, sonst werd’ ich verrückt.” [7-213] Grossmann konnte ihm schnell helfen, und Einstein hat Mathe gebüffelt wie früher und später nie mehr. Schon bald fanden sie die richtigen Feldgleichungen - verwarfen sie aber wieder, weil sie meinten, dass sich in erster Näherung nicht die Newton’sche Theorie daraus ergäbe. Im Sommer 1915 (Einstein war schon über ein Jahr in Berlin) stellte Einstein seine ganzen Überlegungen und den Stand seiner Arbeiten in Göttingen David Hilbert und seinen Leuten vor. Am 4. November 1915 legte er der Preussischen Akademie eine weitere Abhandlung vor aus der Serie “Zur Allgemeinen Relativitätstheorie”. Eine Woche später musste er davon aber schon wieder einiges zurücknehmen. Am 25. November veröffentlichte er schliesslich die endgültige Fassung seiner Gleichungen. Nun hat aber Hilbert schon am 20. November eine Arbeit zur Gravitation eingereicht, die allerdings erst am 31. März 1916 gedruckt erschien und ebenfalls die korrekten Gleichungen enthielt. Beinahe wäre es darüber noch zu einem unschönen Prioritätsstreit gekommen. Einige Unverbesserliche versuchen, diesen heute immer noch anzufachen, dabei weiss man seit 1997 definitiv, dass der Plagiatsvorwurf nur Hilbert treffen kann (siehe dazu [31-105ff]).

In einem Brief an Arnold Sommerfeld schrieb Einstein: “Denk Dir meine Freude ... , dass die Gleichungen die Perihel-Bewegung des Merkur richtig liefern!” Und an den Freund Paul Ehrenfest: “Ich war einige Tage fassungslos vor freudiger Erregung.” [30-216f]

Einstein war aber auch völlig erschöpft und musste sich einige Wochen pflegen lassen.

 


Vorlesungs-Skript zur Differentialgeometrie von Marcel Grossmann.
Einstein schwänzte die Mathematik-Vorlesungen häufig und war für die Prüfungsvorbereitungen
auf die (wunderschönen) Mitschriften seines Freundes angewiesen


Einstein schreibt in seiner Abhandlung: “Dem Zauber dieser Theorie wird sich kaum jemand entziehen können, der sie wirklich erfasst hat; sie bedeutet einen wahren Triumph der durch Gauss, Riemann, Christoffel, Ricci und Levi-Civita begründeten Methode des allgemeinen Differentialkalküls.” Diese Begeisterung Einsteins und einiger weiterer ‘Eingeweihten’ können die meisten Leute (der Autor dieses Buches inbegriffen) nicht so richtig teilen, weil sie die verwendeten mathematischen  ‘Tools’ nicht beherrschen. Zwar schrieb schon Galilei, dass das Buch der Natur in der Sprache der Mathematik geschrieben sei - aber die von der Einstein’schen Theorie geforderten Kenntnisse sind für die meisten Menschen eine Zumutung. A. Hermann schreibt dazu in seiner lesenswerten Einstein-Biographie:

Das machte manchen Zeitgenossen zornig. Der Arzt und Schriftsteller Alfred Döblin sagte: Kopernikus, Kepler und Galilei könne er begreifen, die neue Theorie aber, die “abscheuliche Relativitätslehre”, schliesse ihn “und die ungeheure Menge aller Menschen, auch der denkenden, auch der gebildeten, von ihrer Erkenntnis aus”. Die Naturwissenschaftler von heute mit Einstein an der Spitze hätten sich zu einer “Bruderschaft” entwickelt, die sich “freimaurerischer Zeichen und beinahe einer spiritistischen Klopfsprache bedient”.   [30-220]

Wie bei der SRT haben aber auch bei der ART (Allgemeine Relativitätstheorie) im Laufe der Jahrzehnte verschiedene Leute für gebildete Laien das Tor zu einem qualitativen Verständnis weit geöffnet. Unterdessen ist es soweit, dass wir im wichtigsten Spezialfall die auftretenden Effekte auch quantitativ korrekt berechnen können, ohne dass wir dafür zuerst, im Anschluss an ein Grundstudium, noch einige Semester höhere Mathematik studieren müssen. Für mich waren die beiden bereits erwähnten Bücher [10] und [26] dabei am wichtigsten.

 


Marcel Grossmann, Albert Einstein, Gustav Geissler und Marcels Bruder Eugen
während ihrer Zeit als Studenten an der ETH




Unsere Einschränkung:

Wir berechnen nur den Einfluss einer einzigen, kugelförmigen, nicht rotierenden Masse, welche an ihrer Oberfläche ein nicht allzu starkes Gravitationsfeld aufweist. Wir behandeln also nur den Fall eines kugelsymmetrischen schwachen Gravitationsfeldes. Schwach heisst dabei: Die Fluchtgeschwindigkeit von der Oberfläche der felderzeugenden Kugel soll viel kleiner sein als die Lichtgeschwindigkeit.

Damit gilt für einen Kasten, der aus grossem Abstand frei zur Oberfläche dieser Kugel fällt, die ganze Zeit in sehr guter Näherung  Ekin = 0.5·m0·v2 .
Im Diagramm auf p.77 im Abschnitt E4 sehen wir, dass das noch angeht bis etwa  v = c/3 . Die Fluchtgeschwindigkeit von der Erde beträgt aber lediglich 11.2 km/s, bei der Sonne sind es 618 km/s !! Diese Zahlen liegen weit unter unserer Obergrenze von c/3 = 100’000 km/s, bei der die noch abzuleitenden Formeln unbrauchbar werden. Fast überall im Weltall ausser in der Nähe von ganz exotischen Objekten wie Neutronensternen oder Schwarzen Löchern sind unsere Zusatzbedingungen extrem gut erfüllt. Ganz besonders gilt das für jeden Ort im gravitativen ‘Einzugsgebiet’ unserer Sonne.

Erstaunlicherweise sind die Formeln, die wir innerhalb unserer Einschränkung mit eher elementaren Überlegungen herleiten werden, auch die exakten Lösungen im Fall eines starken Gravitationsfeldes einer nicht-rotierendcen kugelförmigen Masse !!

Lassen wir nun also ein kleines Labor von sehr weit weg entlang der x-Achse gegen das Zentrum einer kugelförmigen Masse M fallen:

 

Das kleine Labor soll am Anfang der Betrachtung gerade diejenige kleine Anfangsgeschwindigkeit haben, für die gilt
0.5·m·v2 =  Ekin =  -Epot =  G·M·m / r
Wegen des Energieerhaltungssatzes ist diese Gleichung während des Fallens auch in jedem späteren Zeitpunkt für immer kleinere Werte von r und immer grössere Werte von v erfüllt. Nach der Division durch  m  erhalten wir
v2 =  2·G·M / r  = - 2·Φ(r)      und      v2/c2 =   2·G·M / (c2·r )   =  - 2·Φ(r) / c2 =   2·α / r   =  Rs / r
mit den Definitionen  Φ(r) = - G·M / r ,  α =  G·M / c2 und  RS = 2·G·M / c2.  Φ(r) ist der klassische Ausdruck für das Potential im Newton’schen Gravitationsfeld, RS ist der sogenannte Schwarzschild-Radius. Für unseren alles bestimmenden Wurzelausdruck erhalten wir somit


Nun ist aber nach unserer zusätzlichen Voraussetzung der Wert von  v2/c2 und damit auch derjenige von  2· α / r  sehr klein. Das Quadrat von  α / r  ist daher noch viel kleiner, was die folgende Umformung gestattet:

Damit und wegen Φ(r)  = - (α / r)·c2 können wir unsere Wurzel etwas vereinfachen:

Wir wollen uns nochmals vergewissern, dass diese Näherung sehr, sehr gut ist: Die grösste Gravitationsfeldstärke tritt im Sonnensystem an der Oberfläche der Sonne auf. Prüfen Sie nach, dass dort der Wert von  α / r  etwa  2.1·10-6 beträgt! Wir haben oben das Quadrat von diesem Ausdruck in die Rechnung geschmuggelt, also etwas im Bereich von  4·10-12 ! Dieses Glied ist eine Million mal kleiner als der bedeutsame Term  2·α / r .

Setzen wir auch noch unseren Definitionen von  RS ,  α  und  Φ(r)  ein Denkmal:

Damit sind wir vorbereitet darauf, in unserem wichtigen Spezialfall die Konsequenzen aus dem Äquivalenzprinzip zu ziehen und herzuleiten, wie ein Gravitationsfeld den Gang von Uhren und die Länge von Massstäben beeinflusst.



Zum Schluss wollen wir nochmals daran erinnern, welche zusätzliche Annahme wir bei der Herleitung dieser Formeln gemacht haben. Wir können das jetzt auf verschiedene Arten formulieren:

  1. die beim freien Fall aus der Ruhe möglichen Geschwindigkeiten sollen viel kleiner sein als c
  2. die beim freien Fall aus der Ruhelage erzielbare kinetische Energie soll immer viel kleiner sein als die Ruheenergie m·c2
  3. der Betrag  m·Φ(r)  der potentiellen Energie soll immer viel kleiner sein als die Ruheenergie m·c2 er
  4. der Kugelradius der Zentralmasse M soll viel grösser sein als deren Schwarzschildradius, sodass der Term  RS / r ausserhalb der Kugel überall viel kleiner als 1 ist

Es muss sowieso noch betont werden, dass die oben hergeleiteten Formeln nur im Äussern der Kugel gültig sind. Im Innern derselben nimmt die Gravitationsfeldstärke ja wieder ab und ist im Zentrum - allein schon aus Symmetriegründen - null. Diese Abnahme ist nach Newton übrigens linear. Wir werden in H5 noch darauf zurückkommen.