C3     Die Zeitdilatation im Epstein-Diagramm


B bewege sich also für Schwarz mit v in Richtung seiner positiven x-Achse. Bei der Begegnung in O haben beide ihre Uhren in A und B auf 0000 gestellt. Die Begegnung hat bei x=0 und x’=0 stattgefunden. Etwas später haben sich A und B in der Raumzeit (mit Lichtgeschwindigkeit) weiterbewegt und wir haben die folgende Situation:

 


Nach C2 ist   OA = OB = c·∆t   und B hat sich für Schwarz räumlich nach X bewegt. Es gilt ja     OX = OB·sin(φ)= (c·∆t)·(v/c) = v·∆t

Welche Bedeutung hat nun die Strecke OY ?    Es ist   OY = OB·cos(φ) = OA·cos(φ)

Deuten wir OA nicht mehr raumzeitlich, sondern nehmen wir ganz den Standpunkt von Schwarz ein und nennen OA ‘meine seit der Begegnung in O verstrichene Zeit’  ∆t , so stellt OY also  ∆t·cos(φ)  dar, und das ist nach der Feststellung am Ende von C2 nichts anderes als ∆t’, also die Zeit, die aus der Sicht von Schwarz (und auch aus derjenigen von Rot !) seit der Begegnung in O für Rot verstrichen ist! Genau diese Zeit wird von der Uhr in B angezeigt. Da cos(φ) gerade dem Wurzelausdruck entspricht, den wir für die Berechnung der Zeitdilatation brauchen, kann Schwarz auf seiner Zeitachse direkt ablesen, wieviel Zeit für jeden seit der Begegnung in O verstrichen ist.

Um es noch einmal zu sagen: Schwarz projiziert einfach die raumzeitliche Position von allem und jedem auf seine Zeitachse und weiss dann, welche Zeit eine Uhr dort anzeigt, welche nach der Begegnung der beiden Systeme in O vorschriftsgemäss mit den Uhren in A resp. B synchronisiert worden ist. Da die Uhren in A und B bei jener Begegnung auf null gestellt worden sind gilt

OA = ∆t = t     und    OY = ∆t’ = t’

Wir können auf das Umrechnen von Zeiten in Längen mit dem Faktor c verzichten, wenn wir nur Zeiten vergleichen. Die ganze Darstellung würde ohnehin einfacher und schöner, wenn wir Längen in Lichtsekunden messen würden, c hätte dann einfach den Wert 1 oder ‘1 licht’.

Auf seiner Zeitachse liest Schwarz also t und t’ ab! Uhren, die auf einer senkrechten Geraden zur schwarzen Zeitachse liegen, zeigen aus Sicht von Schwarz dieselbe Zeit an. Eine solche Gerade wollen wir eine Isochrone nennen. Es ist aber nur eine Isochrone für Schwarz!

Uhren, die in O synchronisiert worden sind, liegen später immer auf einem Halbkreis um O. Einen solchen Halbkreis nenne ich eine Synchrone.
Die beiden Ereignisse "Schwarz ist raumzeitlich in A" und "Rot ist raumzeitlich in B" finden für Schwarz und Rot gleichzeitig statt, auch wenn beide sagen, dass auf der Uhr des anderen weniger Zeit verstrichen sei ...